PEUBAH ACAK

Peubah acak atau variabel acak adalah konsep fundamental dalam probabilitas dan statistika. Peubah acak merupakan fungsi yang memetakan hasil dari sebuah eksperimen acak ke suatu bilangan riil. Hasil tersebut didasarkan pada ruang sampel yang mencakup semua kemungkinan hasil eksperimen.

Jenis Peubah Acak

1. Peubah Acak Diskret

   • Nilainya terbatas atau dapat dihitung.
   • Contoh: Jumlah kepala dalam tiga lemparan koin (0, 1, 2, atau 3).
   • Didukung oleh fungsi massa probabilitas (Probability Mass Function/PMF).

2. Peubah Acak Kontinu

   • Nilainya mencakup semua angka dalam rentang tertentu.
   • Contoh: Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas (bisa 5.3, 5.35, dst.).
   • Didukung oleh fungsi densitas probabilitas (Probability Density Function/PDF).

Notasi

Peubah acak sering dinyatakan dengan huruf kapital seperti $X$, $Y$, atau $Z$. Nilai yang mungkin diambil oleh peubah acak dinyatakan dengan huruf kecil seperti $x$ atau $y$.

Karakteristik Utama

1. Distribusi Probabilitas

   • Menjelaskan bagaimana probabilitas dialokasikan ke nilai-nilai peubah acak.
   • Contoh: Distribusi normal, distribusi binomial, dll.

2. Rata-rata (Ekspektasi)

   • Nilai rata-rata teoretis dari peubah acak: $$\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x) \quad \text{(diskret)} \quad \text{atau} \quad \int_{-\infty}^\infty x f(x) \, dx \quad \text{(kontinu)}.$$

3. Variansi dan Standar Deviasi

   • Variansi ($\sigma^2$): Ukuran penyebaran nilai-nilai di sekitar rata-rata. $$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2.$$
   • Standar deviasi ($\sigma$): Akar kuadrat dari variansi.

Contoh

• Lempar dadu:
• Peubah acak $X$: Angka yang muncul di sisi atas dadu.
• Probabilitas setiap nilai $P(X=x) = \frac{1}{6}$, untuk $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
• Rata-rata $\mathbb{E}[X] = 3.5$.

#dodi_a111